Was ist kettenregel ableitung?

Kettenregel Ableitung

Die Kettenregel ist eine fundamentale Regel der Differentialrechnung, die verwendet wird, um die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion zu berechnen. Eine zusammengesetzte Funktion ist eine Funktion, die aus der Verkettung zweier oder mehrerer Funktionen besteht.

Formulierung:

Seien $f(x)$ und $g(x)$ differenzierbare Funktionen. Wenn $h(x) = f(g(x))$, dann ist die Ableitung von $h(x)$ gegeben durch:

$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Oder in Leibniz-Notation:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

wobei $y = f(u)$ und $u = g(x)$.

Erläuterung:

Die Kettenregel besagt, dass die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion gleich der Ableitung der äußeren Funktion (bezüglich der inneren Funktion) multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion ist.

Beispiel:

Betrachten wir die Funktion $h(x) = \sin(x^2)$. Hier ist $f(u) = \sin(u)$ und $g(x) = x^2$.

  1. Äußere Funktion ableiten: $f'(u) = \cos(u)$
  2. Innere Funktion ableiten: $g'(x) = 2x$
  3. Kettenregel anwenden: $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$

Anwendung:

Die Kettenregel ist in vielen Bereichen der Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften von großer Bedeutung. Sie wird verwendet, um Ableitungen von Funktionen zu berechnen, die in komplexen Ausdrücken vorkommen, und um die Änderungsrate einer Größe in Bezug auf eine andere zu bestimmen, wenn diese Größen indirekt miteinander verbunden sind.

Wichtige Themen: